试题

现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．

（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和．
（n的代数式表示）
（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

解：（1）由已知，假设一下16个数
1   2   3   4
8   9   10  11
15  16  17  18
22  23  24  25可得：
n         n+1            n+2             n+3
n+7       n+1+7          n+2+7          n+3+7
n+7+7    n+1+7+7         n+2+7+7        n+3+7+7
n+7+7+7  n+1+7+7+7       n+2+7+7+7      n+3+7+7+7
所以这16个的和=16n+192=16（n+12）；

（2）设16（n+12）=832
n=40，
故存在最小为40，最大40+24=64，经检验，832不存在；
16（n+12）=2000
n=113，
故存在最小为113，最大为137，
16（n+12）=2008
n=113.5，
故不存在．
解：（1）由已知，假设一下16个数
1   2   3   4
8   9   10  11
15  16  17  18
22  23  24  25可得：
n         n+1            n+2             n+3
n+7       n+1+7          n+2+7          n+3+7
n+7+7    n+1+7+7         n+2+7+7        n+3+7+7
n+7+7+7  n+1+7+7+7       n+2+7+7+7      n+3+7+7+7
所以这16个的和=16n+192=16（n+12）；

（2）设16（n+12）=832
n=40，
故存在最小为40，最大40+24=64，经检验，832不存在；
16（n+12）=2000
n=113，
故存在最小为113，最大为137，
16（n+12）=2008
n=113.5，
故不存在．