试题

题目：
青果学院（2012·通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=
α
22012
α
22012
．
答案
α
22012

青果学院解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=
1
2
∠ABC，∠A1CD=
1
2
∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，
∴∠A1+∠A1BC=∠A1+
1
2
∠ABC=
1
2
（∠A+∠ABC），
整理得，∠A1=
1
2
∠A=
α
2
，
同理可得，∠A2=
1
2
∠A1=
1
2
×
α
2
=
α
22
，
…，
∠A2012=
α
22012
．
故答案为：
α
22012
．
考点梳理
三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．
根据角平分线的定义可得∠A1BC=
1
2
∠ABC，∠A1CD=
1
2
∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，然后整理即可得到∠A1与∠A的关系，同理得到∠A2与∠A1的关系并依次找出变化规律，从而得解．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
规律型．
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