试题

题目：
设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3（互不重合）．求证：△M1M2M3也是正三角形．
答案
青果学院解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，AM1⊥BC，BM2⊥AC，CM3⊥AB，
∴M1、M2、M3分别是BC，AC，AB的中点，
∴M1M2、M2M3、M1M3是△ABC的中位线，
∴M1M2=M2M3=M1M3=
1
2
AB，
∴△M1M2M3是正三角形．
青果学院解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，AM1⊥BC，BM2⊥AC，CM3⊥AB，
∴M1、M2、M3分别是BC，AC，AB的中点，
∴M1M2、M2M3、M1M3是△ABC的中位线，
∴M1M2=M2M3=M1M3=
1
2
AB，
∴△M1M2M3是正三角形．
考点梳理
四点共圆；射影定理．
先根据题意画出图形，由等边三角形三线合一的性质可知M1M2=M2M3=M1M3，故可求出结论．
本题考查的是等边三角形的性质及三角形中位线定理，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
证明题．
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