试题

题目：
青果学院如图，在等边三角形ABC中∠B，∠C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F．小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．
答案
青果学院解：连接OE、OF，
∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC=30°，
∴BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，
∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°，
同理，∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°，
∴△OEF为等边三角形，
即EF=OE=BE，EF=OF=FC，
故E、F为BC的三等分点，
故该说法正确．
青果学院解：连接OE、OF，
∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC=30°，
∴BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，
∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°，
同理，∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°，
∴△OEF为等边三角形，
即EF=OE=BE，EF=OF=FC，
故E、F为BC的三等分点，
故该说法正确．
考点梳理
等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
连接OE、OF，根据等边三角形角平分线的性质，可得∠OBC=∠OCB=30°，由BC的垂直平分线，可知BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，∠OEF=60°，再证，∠OFE=60°，得出△OEF为等边三角形，从而可知EF=OE=BE=OF=FC，得出结论．
本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了垂直平分线的性质，本题中根据勾股定理求BE、CF的值是解题的关键．
证明题．
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