试题

题目：
青果学院（2011·台湾）如图1，有两全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分别为△ABC，△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在
DE
上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何（　　）



答案
C
青果学院解：设三角形的边长是x，则高长是
3
2
x．
图（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，AD=
2
3
×
3
2
x=
3
3
x．
另一条对角线长是：MN=2OM=2×
1
2
OM·tan30°=2×
1
2
×
3
3
x·tan30°=
1
3
x．
则阴影部分的面积是：
1
2
×
1
3
x·
3
3
x=
3
18
x2；
图（2）中，AD=AD=
2
3
×
3
2
x=
3
3
x．
是一个角是30°的直角三角形．
则阴影部分的面积=
1
2
AD·sin30°·AD·cos30°=
1
2
×
3
3
x·×
1
2
×
3
3
x·
3
2
=
3
24
x2．
两个三角形重迭区域的面积比为：
3
18
x2：
3
24
x2=4：3．
故选C．
考点梳理
旋转的性质；等边三角形的性质．
设三角形的边长是x，则（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．
本题主要考查了三角形的重心的性质，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．
压轴题．
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