试题

如图，在△ABC中，AB=BC=AC，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
（1）已知CD=3，求BE的长；
（2）求证：BD=ED；
（3）若点F是BE边的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．

解：（1）∵AB=BC=AC，BD是中线，
∴BC=AC=2CD
∵CD=3，
∴BC=2CD=6，CE=CD=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=

1

2

∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（3）∵点F是BE边的中点，
∴DF是BE边的中线，
∵BD=ED
∴DF⊥BE
解：（1）∵AB=BC=AC，BD是中线，
∴BC=AC=2CD
∵CD=3，
∴BC=2CD=6，CE=CD=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=

1

2

∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（3）∵点F是BE边的中点，
∴DF是BE边的中线，
∵BD=ED
∴DF⊥BE