试题

已知如图，在△ABC中，AB=AC． D，E，F分别在AB，BC，CA上，且DE=EF=FD．
求证：∠DEB=

1

2

（∠ADF+∠CFE）．

证明：∵AB=AC，DE=EF=FD，
∴∠B=∠C，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，
设∠B=∠C=β，∠DEB=α，
∴∠BDE=180°-α-β，
∴∠ADF=180°-∠BDE-∠DEF=180°-（180°-α-β）-60°=α+β-60°，
∵∠CEF=180°-α-60°=120°-α，
∴∠CFE=180°-（120°-α）-β=60°+α-β，
∴∠ADF+∠CFE=α+β-60°+60°+α-β=2α=2∠DEB，
∴∠DEB=

1

2

（∠ADF+∠CFE）．
证明：∵AB=AC，DE=EF=FD，
∴∠B=∠C，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，
设∠B=∠C=β，∠DEB=α，
∴∠BDE=180°-α-β，
∴∠ADF=180°-∠BDE-∠DEF=180°-（180°-α-β）-60°=α+β-60°，
∵∠CEF=180°-α-60°=120°-α，
∴∠CFE=180°-（120°-α）-β=60°+α-β，
∴∠ADF+∠CFE=α+β-60°+60°+α-β=2α=2∠DEB，
∴∠DEB=

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2

（∠ADF+∠CFE）．