试题

题目：
由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下管道，有人设计了3种方案：如图1中实线表示管道铺设路线，在图2中，AD⊥BC于D，在图3中，OA=OB=OC，且交点到顶点A的距离为三角形高的
2
3
，为减少渗漏、节约水资源，并降低工程造价，铺设路线尽量缩短．已知ABC是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪种铺高方案好？青果学院
答案
解：如图1所示，铺设的地下管道长为a+a=2a；
如图2所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=DC=
1
2
BC=
1
2
a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=
AB2-BD2
=
3
2
a，
则铺设的地下管道长为a+
3
2
a=
2+
3
2
a；
如图3所示，∵△ABC为等边三角形，且AO=BO=CO=
2
3
AD=
3
3
a，
则铺设的地下管道长为AO+OB+OC=3×
3
3
a=
3
a，
∵
3
a＜
2+
3
2
a＜2a，
则第三种铺设方案好．
解：如图1所示，铺设的地下管道长为a+a=2a；
如图2所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=DC=
1
2
BC=
1
2
a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=
AB2-BD2
=
3
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a，
则铺设的地下管道长为a+
3
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a=
2+
3
2
a；
如图3所示，∵△ABC为等边三角形，且AO=BO=CO=
2
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AD=
3
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a，
则铺设的地下管道长为AO+OB+OC=3×
3
3
a=
3
a，
∵
3
a＜
2+
3
2
a＜2a，
则第三种铺设方案好．
考点梳理
等边三角形的性质．
由三角形ABC为边长为a的等边三角形，如图1求出两边之和得到铺设管道的长度；如图2，在直角三角形ABDC中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设管道的长度；如图3，由AO为等边三角形高的
2
3
，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设管道的长度，比较大小即可得到铺设方案好的方案为方案3．
此题考查了等边三角形的性质，以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出三个图形铺设管道的长度是解本题的关键．
应用题．
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