试题

如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个正方形．如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，那么这个长方形的周长最小是多少？

解：设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x，y，z（如图，正方形边长均写成正方形内），则其它正方形的边长如图所示，从而，最大正方形的边长为
x+3y+2z=3y+8x-z，
化简得：7x=3z①
又考虑长方形的宽，可得
6x+5y+2z=3x+8y+z，
化简得：3x-3y+z=0②
由①，②得：

7x=3z 16x=9y

由于x，y，z都是正整数，则x的最小值为9，从而y和z的最小值依次为16，21，此时长方形的邻边长分别为：
9x+6y=177，
6x+5y+2z=176．
因此所求最小周长为（177+176）×2=706．
答：这个长方形的周长最小是706．
解：设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x，y，z（如图，正方形边长均写成正方形内），则其它正方形的边长如图所示，从而，最大正方形的边长为
x+3y+2z=3y+8x-z，
化简得：7x=3z①
又考虑长方形的宽，可得
6x+5y+2z=3x+8y+z，
化简得：3x-3y+z=0②
由①，②得：

7x=3z 16x=9y

由于x，y，z都是正整数，则x的最小值为9，从而y和z的最小值依次为16，21，此时长方形的邻边长分别为：
9x+6y=177，
6x+5y+2z=176．
因此所求最小周长为（177+176）×2=706．
答：这个长方形的周长最小是706．