试题

题目：
青果学院如图，一根木棒（AB）长2a，斜靠在与地面（OM）垂直的墙壁（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．若木棒A端沿直线ON下滑，且B端沿直线OM向右滑行（NO⊥OM），于是木棒的中点P也随之运动，已知A端下滑到A′时，AA′=(
3
-
2
)a．则中点P随之运动到P′时经过的路线长为
1
12
πa
1
12
πa
．
答案
1
12
πa

解：连接OP、OP′，如图，青果学院
∵ON⊥OM，P为AB中点，
∴OP=
1
2
AB=
1
2
A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点P到O的距离始终为定长a，
∴P是随之运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=
3
a，
∵AA′=（
3
-
2
）a，OA′=OA-AA′=
2
a，
∴sin∠A′B′O=
OA′
A′B′
=
2
2
，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°，
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的长=
15·π·a
180
=
1
12
πa，
即P点运动到P′所经过路线PP′的长为
1
12
πa．
考点梳理
弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的应用．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OP=
1
2
AB=
1
2
A′B′=OP′，即P是随之运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△AOB中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOP=30°，OA=
3
a，则易求出OA′=OA-AA′=
2
a，即可得到△A′OB′为等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，则∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长公式：l=
nπR
180
（n为弧所对的圆心角的度数，R为半径），也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质，难度一般．
综合题．
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