试题

（2011·常熟市二模）已知双曲线y=

k

x

与直线y=

1

4

x相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=

k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线y=

k

x

于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2．
∴B点坐标为（-8，-2）．
∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（-2m，-

n

2

）在双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x上
∴

1 4 ×(-2m)=- n 2 (-2m)(- n 2 )=4

得

m1=2 n1=2

m2=-2 n2=-2

（舍去）
∴C（-4，-2），M（2，2）．
设直线CM的解析式是y=ax+b，把C（-4，-2）和M（2，2）代入得：

-4a+b=-2 2a+b=2.

解得a=b=

2

3

．
∴直线CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

．
解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=

1

4

x中，得y=-2．
∴B点坐标为（-8，-2）．
∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．
∴k=xy=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-

n

2

），C（-2m，-n），E（-m，-n）．
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，
∴S_{四边形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k=4．
∴k=4．
∵B（-2m，-

n

2

）在双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x上
∴

1 4 ×(-2m)=- n 2 (-2m)(- n 2 )=4

得

m1=2 n1=2

m2=-2 n2=-2

（舍去）
∴C（-4，-2），M（2，2）．
设直线CM的解析式是y=ax+b，把C（-4，-2）和M（2，2）代入得：

-4a+b=-2 2a+b=2.

解得a=b=

2

3

．
∴直线CM的解析式是y=

2

3

x+

2

3

．