试题

题目：
（2012·平谷区二模）已知：正比例函数y1=k1x（k1≠0）和反比例函数y2=
k2
x
(k2≠0)的图象都经过点A（1，
3
）．
（1）求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P是反比例函数图象上的点，且点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，求点P的坐标．
答案
解：（1）把A（1，
3
）分别代入y1=k1x（k1≠0）和y2=
k2
x
(k2≠0)得k1=
3
，k2=
3
，
所以正比例函数和反比例函数的解析式分别为y=
3
x，y=
3
x
；青果学院

（2）作PB⊥x轴于B，AC⊥x轴于C，如图，
∵A点坐标为（1，
3
），即AC=
3
，OC=1，
∴tan∠AOC=
3
，
∴∠AOC=60°，
∵点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，
∴∠POB=30°，
设P点坐标（a，b），则a=
3
b，即P点坐标为（
3
b，b），
设直线OP的解析式为y=mx，
把（
3
b，b）代入得b=
3
b·m，
∴m=
3
3
，
解方程组
y=
3
x
y=
3
3
x
得
x=
3
y=1
或
x=-
3
y=-1
，
∴点P的坐标为（
3
，1）或（-
3
，-1）．
解：（1）把A（1，
3
）分别代入y1=k1x（k1≠0）和y2=
k2
x
(k2≠0)得k1=
3
，k2=
3
，
所以正比例函数和反比例函数的解析式分别为y=
3
x，y=
3
x
；青果学院

（2）作PB⊥x轴于B，AC⊥x轴于C，如图，
∵A点坐标为（1，
3
），即AC=
3
，OC=1，
∴tan∠AOC=
3
，
∴∠AOC=60°，
∵点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，
∴∠POB=30°，
设P点坐标（a，b），则a=
3
b，即P点坐标为（
3
b，b），
设直线OP的解析式为y=mx，
把（
3
b，b）代入得b=
3
b·m，
∴m=
3
3
，
解方程组
y=
3
x
y=
3
3
x
得
x=
3
y=1
或
x=-
3
y=-1
，
∴点P的坐标为（
3
，1）或（-
3
，-1）．
考点梳理
反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）把A（1，
3
）分别代入y1=k1x（k1≠0）和y2=
k2
x
(k2≠0)即可求得k1，k2的值；
（2）作PB⊥x轴于B，AC⊥x轴于C，根据A点坐标可得到∠AOC=60°，由于点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，根据角平分线的性质得到∠POB=30°，设P点坐标（a，b），则a=
3
b，即P点坐标为（
3
b，b），设直线OP的解析式为y=mx，则可求出m=
3
3
，然后解由反比例函数的解析式和直线OP的解析式组成的方程组即可得到点P的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及角平分线的性质．
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