试题

（2012·延庆县二模）已知：如图，直线y=

1

3

x与双曲线y=

k

x

交于A、B两点，且点A的坐标为（6，m）．
（1）求双曲线y=

k

x

的解析式；
（2）点C（n，4）在双曲线y=

k

x

上，求△AOC的面积；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找出一点P，使△AOC的面积等于△AOP的面积的三倍．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

解：（1）∵点A（6，m）在直线y=

1

3

x上，
∴m=

1

3

×6=2，
∵点A（6，2）在双曲线y=

k

x

上，
∴2=

k

6

，解得k=12，
∴双曲线的解析式为y=

12

x

；

（2）作CD⊥x轴于D点，AE⊥x轴于E点，如图，
∵点C（n，4）在双曲线y=

12

x

上，
∴4=

12

n

，解得n=3，即点C的坐标为（3，4），
∵点A，C都在双曲线y=

12

x

上，
∴S_△OCD=S_△AOE=

1

2

×12=6，
∴S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=

1

2

（CD+AE）·DE=

1

2

（4+2）×（6-3）=9；
（3）∵S_△AOC=9，
∴S_△AOP=3，
设P点坐标为（x，0），而A点坐标为（6，2），
∴S_△AOP=

1

2

×2×|x|=3，解得x=±3，
∴P（3，0）或P（-3，0）．
解：（1）∵点A（6，m）在直线y=

1

3

x上，
∴m=

1

3

×6=2，
∵点A（6，2）在双曲线y=

k

x

上，
∴2=

k

6

，解得k=12，
∴双曲线的解析式为y=

12

x

；

（2）作CD⊥x轴于D点，AE⊥x轴于E点，如图，
∵点C（n，4）在双曲线y=

12

x

上，
∴4=

12

n

，解得n=3，即点C的坐标为（3，4），
∵点A，C都在双曲线y=

12

x

上，
∴S_△OCD=S_△AOE=

1

2

×12=6，
∴S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=

1

2

（CD+AE）·DE=

1

2

（4+2）×（6-3）=9；
（3）∵S_△AOC=9，
∴S_△AOP=3，
设P点坐标为（x，0），而A点坐标为（6，2），
∴S_△AOP=

1

2

×2×|x|=3，解得x=±3，
∴P（3，0）或P（-3，0）．