试题

（2010·杭州）给出下列命题：
命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=

1

x

的一个交点；
命题2：点（2，4）是直线y=2x与双曲线y=

8

x

的一个交点；
命题3：点（3，9）是直线y=3x与双曲线y=

27

x

的一个交点；
（1）请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）；
（2）证明你猜想的命题n是正确．

解：（1）命题n：点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点（n是正整数）；

（2）把

x=n y=n2

代入y=nx，左边=n²，右边=n·n=n²，
∵左边=右边，
∴点（n，n²）在直线上．（2分）
同理可证：点（n，n²）在双曲线上，
∴点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点，命题正确．（1分）
解：（1）命题n：点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点（n是正整数）；

（2）把

x=n y=n2

代入y=nx，左边=n²，右边=n·n=n²，
∵左边=右边，
∴点（n，n²）在直线上．（2分）
同理可证：点（n，n²）在双曲线上，
∴点（n，n²）是直线y=nx与双曲线y=

n3

x

的一个交点，命题正确．（1分）