试题

题目：
已知四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含30°角的直角三角形，则四边形ABCD的对角线BD的长为
7
或 2
7
或
2
3
21
7
或 2
7
或
2
3
21
．
答案
7
或 2
7
或
2
3
21

解：如图所示，四边形ABCD分为3种情况，
①AC为斜边；
②AC为60°角所对直角边；
③AC为30°角所对直角边．
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所以，共6种图形．
在图1中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+AC2+AD2
=
2
3
21
；
在图2中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2+CD2
=
2
3
21
；
在图3中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2-CD2
=
7
；
在图4中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+CA2- AD2
=
7
．
在图5中，BD=
BC2+CD2-2BC·CD·cos120°
=2
7
；
在图6中，BD=
BA2+AD2-2BA·AD·cos120°
=2
7
．
故答案为：
7
或 2
7
或
2
3
21
．
考点梳理
勾股定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
先根据题意画出图形，分AC为斜边；AC为60°角所对直角边；AC为30°角所对直角边三种情况，再根据等边三角形的性质及直角三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
本题考查的是勾股定理，根据题意画出图形，构造出四边形ABCD，再利用勾股定理求解是解答此题的关键．
分类讨论．
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