试题

题目：
青果学院已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠C=120°，AB=2，BC=2
3
，AD=4
2
．
求：四边形ABCD的面积．
答案
青果学院解：连接AC．
在Rt△ABC中，
∵∠B=90°，AB=2，BC=2
3
，
∴AC=
AB2+BC2
=
4+12
=
16
=4．
∴∠ACB=30°．
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=90°．
又∵AD=4
2
，
∴CD=
AD2-AC2
=
32-16
=
16
=4．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
1
2
×2×2
3
+
1
2
×4×4=2
3
+8．
青果学院解：连接AC．
在Rt△ABC中，
∵∠B=90°，AB=2，BC=2
3
，
∴AC=
AB2+BC2
=
4+12
=
16
=4．
∴∠ACB=30°．
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=90°．
又∵AD=4
2
，
∴CD=
AD2-AC2
=
32-16
=
16
=4．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
1
2
×2×2
3
+
1
2
×4×4=2
3
+8．
考点梳理
勾股定理；含30度角的直角三角形．
连接AC．根据图示知S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”推知∠ACB=30°，易求△ACD是直角三角形；然后利用勾股定理和直角三角形的面积公式求得△ABC、△ACD的面积．
本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形．注意“数形结合”数学思想的应用．
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