如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．（1）当BC的长为多少时，点C到A、E两点的距离-青果题库-青果学院

题目：

如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．
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（1）当BC的长为多少时，点C到A、E两点的距离相等？
（2）用含x的代数式表示AC+CE的长；问点A、C、E满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点M（0，4），N（3，2），请根据（2）中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM+PN最小，求出点P坐标和PM+PN的最小值．

答案

解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）² 青果学院

+1²，
解得：x=

5

2

，
∴当BC=

5

2

时，点C到A、E两点的距离相等；

（2）AC+CE=

x2+25

+

x2-16x+65

，
当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；

（3）如图所示：P（2，0），
∵PM=

OP 2+OM 2

=

20

=2

5

，
PN=

1 2+22

=

5

，
∴PM+PN最小值为 3

5

．
解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）² 青果学院