已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点...-青果题库-青果学院

题目：

已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

答案

解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x²-x-2，其顶点坐标是（

1

2

，-

9

4

）；

（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0），
点N的坐标为N（h，-t），
则

0=2k+b

-

9

4

=

1

2

k+b

，
解它们组成的方程组得：

k=

3

2

b=-3

，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=

3

2

x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=

3

2

h-3，
∴h=2-

2

3

t，
其中

1

2

＜h＜2，
∴s=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）（2-

2

3

t）=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∵M点坐标是（

1

2

，-

9

4

）；
∴QN最大值为：

9

4

，
∴自变量的取值围是：0＜t＜

9

4

；

（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P₁（

5

2

，

7

4

），P₂（

3

2

，-

5

4

）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m²-m-2，PA²=（m+1）²+n²
PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠CAP=90°则AP²=PC²+AC²．
可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，
解得：m1=

5

2

，m₂=-1（舍去）．
所以点P（

5

2

，

7

4

）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²
∴n=m²-m-2
（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5
解得：m3=

3

2

，m₄=0（舍去）．所以点P（

3

2

，-

5

4

）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，青果学院

第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P₁（-1，-2），P₂（-

1

5

，

2

5

）或
（

4

5

，-

8

5

）．