试题

题目：
青果学院已知：如图，AD=BD=CD=m，AB=n，BC=p，BC∥AD，m、n为有理数．
求证：p也有理数．
答案
青果学院证明：如图，分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，
则有BE=DF，BF=DE=FC=
p
2
，
在Rt△ABE中，BE2=n2-（m-
p
2
）2．
在Rt△BED中，BE2=m2-
p2
4
，
∴n2-（m-
p
2
）2=m2-
p2
4
．
解得：p=
2m2-n2
m
，
∵m、n都是有理数，
∴p也是有理数．
青果学院证明：如图，分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，
则有BE=DF，BF=DE=FC=
p
2
，
在Rt△ABE中，BE2=n2-（m-
p
2
）2．
在Rt△BED中，BE2=m2-
p2
4
，
∴n2-（m-
p
2
）2=m2-
p2
4
．
解得：p=
2m2-n2
m
，
∵m、n都是有理数，
∴p也是有理数．
考点梳理
勾股定理．
分别过点B、D作AD、BC的垂线BE和DF，垂足分别是E、F，在Rt△ABE和Rt△BED中，分别应用勾股定理，用m和n将p表示出来，又m、n为有理数，继而可证得p也为有理数．
本题考查了勾股定理的灵活应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形．
证明题．
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