试题

设二次函数y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c）当自变量x=1时函数值为0，一次函数y₂=ax+b．
（1）求证：上述两个函数图象必有两个不同的交点；
（2）若二次函数图象与x轴有一交点的横坐标为t，且t为奇数时，求t的值．
（3）设上述两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁，求线段A₁B₁的长的取值范围．

解：（1）当自变量x=1时函数值为0，将其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正负不能确定，
联系两个函数，即两线相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴两个函数图象必有两个不同的交点；

（2）由（1）得，很明显，x=1是二次函数与x轴的一个交点，满足题意，t=1，
如果，另一个根为t，即t≠1，且t为奇数，
则两个根为1，t，
根据韦达定理，

c

a

=1×t，-

b

a

=1+t，
a＞0，c＜0，可知

c

a

=1×t＜0，即t＜0，
又a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，得到-

b

a

＞-1，
所以，-

b

a

=1+t＞-1  即t＞-2，
t为奇数，t=-1．
∴t=±1；

（3）上述两函数图象的交点A．B在x轴上的射影分别为A₁．B₁，
有A₁，B₁为ax²+bx+c=ax+b的两根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有两根为
x₁=

a-b+ (b-a)2-4a(c-b)

2a

，x₂=

a-b- (b-a)2-4a(c-b)

2a

，
A₁B₁=

(b-a)2-4a(c-b)

a

=

(b+a)2-4ac

a

=

( b a +1)2- 4c a

，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=

( b a +1)2+ 4(b+a) a

=

( b a +1)2+4( b a +1)+4-4

=

( b a +3)2-4

．      　　　　A式
现在关键是求

b

a

的取值范围．
由a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　

b

a

＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜

b

a

＜1分别代入A式为，
∴

3

2

＜A₁B₁＜2

3

．
解：（1）当自变量x=1时函数值为0，将其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正负不能确定，
联系两个函数，即两线相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴两个函数图象必有两个不同的交点；

（2）由（1）得，很明显，x=1是二次函数与x轴的一个交点，满足题意，t=1，
如果，另一个根为t，即t≠1，且t为奇数，
则两个根为1，t，
根据韦达定理，

c

a

=1×t，-

b

a

=1+t，
a＞0，c＜0，可知

c

a

=1×t＜0，即t＜0，
又a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，得到-

b

a

＞-1，
所以，-

b

a

=1+t＞-1  即t＞-2，
t为奇数，t=-1．
∴t=±1；

（3）上述两函数图象的交点A．B在x轴上的射影分别为A₁．B₁，
有A₁，B₁为ax²+bx+c=ax+b的两根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有两根为
x₁=

a-b+ (b-a)2-4a(c-b)

2a

，x₂=

a-b- (b-a)2-4a(c-b)

2a

，
A₁B₁=

(b-a)2-4a(c-b)

a

=

(b+a)2-4ac

a

=

( b a +1)2- 4c a

，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=

( b a +1)2+ 4(b+a) a

=

( b a +1)2+4( b a +1)+4-4

=

( b a +3)2-4

．      　　　　A式
现在关键是求

b

a

的取值范围．
由a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　

b

a

＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜

b

a

＜1分别代入A式为，
∴

3

2

＜A₁B₁＜2

3

．