试题

把两个全等的等腰Rt△AOB和等腰Rt△DCE（其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使等腰Rt△DCE的直角顶点C与等腰Rt△AOB的斜边中点C重合．现将等腰Rt△DCE绕C点逆时针方向旋转（旋转角a满足条件：0°＜a＜90°），四边形CPOQ是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在图1中，求点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）；
（2）在上述旋转过程中，CP与CQ有怎样的数量关系？四边形CPOQ的面积有何变化？证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，BQ的长度是多少时，△CPQ的面积恰好等于△AOB面积的

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解：（1）由题意知：OA=OB=4，即A（0，4），B（4，0）；
由于C是AB中点，则C（2，2）；
由图易知：D、C关于y轴对称，即D（-2，2），同理得：E（2，-2）；
C（2，2）、D（-2，2）、E（2，-2）．

（2）在上述旋转过程中，CP=CQ，四边形CPOQ的面积不变，面积为4，是一个定值，
在旋转过程中其大小始终不变：过点C分别作CM⊥x轴于M点，CN⊥y轴于N点，则CM=CN．
在△CNP与△CMQ中，CM=CN，∠CNP=∠CMQ=90°，
∴∠NCP=∠NCM-∠PCM=90°-∠PCM=∠MCQ，
所以CP=CQ，△CNP与△CMQ的面积相等，
则四边形CPOQ的面积就是正方形CNOP的面积，
所以四边形CPOQ的面积=2×2=4．

（3）设BQ=a，则MQ=2-a，
在Rt△CMQ中，CQ²=CM²+MQ²=4+（2-a）²，
连接PQ，过C作CH⊥PQ，
∵CP=CQ，∠PCQ=90°，
∴△PCQ为等腰直角三角形，
∴H为PQ中点，
∴CH=HQ，∠CHQ=90°，即△CHQ为等腰直角三角形，
∴CH=HQ=

2

2

CQ，即CQ=

2

CH=

2

HQ，
∴△CPQ的面积S=

1

2

PQ·CH=

1

2

×2×

2

2

CQ×

2

2

CQ=

1

2

CQ²=

1

2

（4+（2-a）²）=

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×8，
解得a=1或3，
当BQ=1或3时，△CPQ的面积均等于△AOB的面积的

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