试题

题目：
青果学院如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD 于F，图中阴影部分的面积为
16π
3

（1）求BD的长及∠A的度数
（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
答案
解：（1）
nπ×42
360
=
16π
3

n=120°
∵OC⊥BD，AC为直径，
∴AC平分BD，
∴BD=2BF，
在Rt△OBF中，∠BOF=60°，BO=4，BF=2
3
，BD=4
3
，
∠BOF=∠A+∠ABO=60°，
∵OB=OA
∴∠A=∠ABO=30°

（2）∵θ=
r
l
·360°
∴120°=
r
4
·360°r=
4
3

解：（1）
nπ×42
360
=
16π
3

n=120°
∵OC⊥BD，AC为直径，
∴AC平分BD，
∴BD=2BF，
在Rt△OBF中，∠BOF=60°，BO=4，BF=2
3
，BD=4
3
，
∠BOF=∠A+∠ABO=60°，
∵OB=OA
∴∠A=∠ABO=30°

（2）∵θ=
r
l
·360°
∴120°=
r
4
·360°r=
4
3
考点梳理
扇形面积的计算；等腰三角形的性质；勾股定理；圆锥的计算．
（1）首先根据扇形面积公式求得∠BOD=120°；然后由垂径定理推知BD=2BF；最后在Rt△OBF中求得∠BOF=∠A+∠ABO=60°，由等腰三角形的性质推知∠A=∠ABO=30°；
（2）根据圆锥的侧面积的计算方法来求所围成的圆锥的底面圆的半径．
本题综合考查了勾股定理、圆锥的计算、等腰三角形的性质以及扇形的面积公式．解答（1）时，利用垂径定理求得BD=2BF是解题的关键所在．
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