试题

（2010·双鸭山）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为．

解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，

连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=2×

2

2

=

2

，
在Rt△BAC中，BC=

22+22

=2

2

，
∴BD=

BE2+DE2

=

(2 2 + 2 )2+( 2 )2

=2

5

；
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=ACsin45°=2×

2

2

=

2

，
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
又∵在Rt△ABC中，BC=

22+22

=2

2

，
∴BD=

BC2+CD2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．
故BD的长等于4或2

5

或

10

．