试题

如图，△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，D为BC上一点，∠ADC=60°．AE⊥BC于点E．CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求证：DF=FG；
（2）若DC=2，AF=

3

，求线段EG的长．

证明：（1）∵∠ABC=45°，∠BAC=60°，
∴∠ADB=120°，又∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∴AF=CF，
∴△AFG≌△CFD，
∴DF=FG；

（2）在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠FCD=30°，
∴DF=

1

2

CD=1，
∴FG=DF=1，
又∵△AFG≌△CFD，
∴CF=AF=

3

，
∴CG=CF-FG=

3

-1，在Rt△CGE中，∠AEC=90°，∠FCD=30°，
∴EG=

1

2

CG=

3 -1

2

．
证明：（1）∵∠ABC=45°，∠BAC=60°，
∴∠ADB=120°，又∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∴AF=CF，
∴△AFG≌△CFD，
∴DF=FG；

（2）在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠FCD=30°，
∴DF=

1

2

CD=1，
∴FG=DF=1，
又∵△AFG≌△CFD，
∴CF=AF=

3

，
∴CG=CF-FG=

3

-1，在Rt△CGE中，∠AEC=90°，∠FCD=30°，
∴EG=

1

2

CG=

3 -1

2

．