试题

已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3  （m＞0）
（1）求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点；
（2）这条抛物线与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数y=mx²+（m-3）x-3  （m＞0）
∴△=（m-3）²-4（-3）m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²
∵m＞0，
∴m+3＞3，
∴（m+3）²＞9，
∴（m+3）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴AB=

3

m

-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=

12+32

=

10

，
∵AM=CM，
∴AM=

AC

2

=

5

，
∴R=

5

，S=

5

4

π．

（3）设PD与BC的交点为E，知道B点、C点的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

0=3k+b -3=b

，解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
设P（x，x²-2x-3）；当S_△BED：S_△BEP=1：2时，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴

x=2 y=-3

 或

x=3 y=0

（舍去）
∴P（2，-3）；
当S_△PBE：S_△BED=1：2时，同理可得P（

1

2

，-

15

4

），
故存在P（2，-3）或P（

1

2

，-

15

4

）．
解：（1）∵二次函数y=mx²+（m-3）x-3  （m＞0）
∴△=（m-3）²-4（-3）m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²
∵m＞0，
∴m+3＞3，
∴（m+3）²＞9，
∴（m+3）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=

3

m

，
∴AB=

3

m

-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=

12+32

=

10

，
∵AM=CM，
∴AM=

AC

2

=

5

，
∴R=

5

，S=

5

4

π．

（3）设PD与BC的交点为E，知道B点、C点的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

0=3k+b -3=b

，解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
设P（x，x²-2x-3）；当S_△BED：S_△BEP=1：2时，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴

x=2 y=-3

 或

x=3 y=0

（舍去）
∴P（2，-3）；
当S_△PBE：S_△BED=1：2时，同理可得P（

1

2

，-

15

4

），
故存在P（2，-3）或P（

1

2

，-

15

4

）．