试题

某班研究性学习小组在研究用一条直线等分几何图形的面积时，发现如下事实：
㈠如图①，对于三角形ABC，取BC边中点D，过A、D两点画一条直线即可．
理由：∵△ABD与△ADC等底等高，
∴S_△ABD=S_△ADC
㈡如图②，对于平行四边形ABCD，连接两对角线AC、BD交于点O，过O点任作一直线MN即可．（不妨设与AD、BC分别交于点M、N）
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC．∴∠MAO=∠NCO．
∴易得S_△AOM=S_△CON
∴S_{四边形ABNM}=S_{四边形CDMN}．
受上面的启发，请你研究一下下面的问题：
某村王大爷家有一块梯形形状的稻田（如图③所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h=30米，王大爷准备把这块梯形形状的稻田平均分给两个儿子（面积相等）．
（1）分割方法有许多种，请你帮助王大爷设计两种不同的分割方案，在图③、图④中分别画出来，并说明理由；
（2）为了尽可能减少筑砌分割田坎的劳动量（只考虑田坎长度对工时的影响，不计其它因素），问：田坎应砌在什么位置最短？请画出图形，并求出此时分割线的长度．

解：（1）如图③所示：分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，线段EF就是所求作的分割线．
如图④，连接BD，在BD上取中点O，连接AO、CO，折线AOC可以把梯形分割为两个面积相等的图形．
；

（2）田坎应砌在经过EF中点且与AD、BC垂直的线段GH的位置时最短．

理由：∵O是EF的中点，
∴△EOG≌△FOH，
∴S'_△EOG=S′_△FOH，
∴S′_ABHG=S′_GHDC，
此时，最短线段GH的长度等于高，即为30米．
解：（1）如图③所示：分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，线段EF就是所求作的分割线．
如图④，连接BD，在BD上取中点O，连接AO、CO，折线AOC可以把梯形分割为两个面积相等的图形．
；

（2）田坎应砌在经过EF中点且与AD、BC垂直的线段GH的位置时最短．

理由：∵O是EF的中点，
∴△EOG≌△FOH，
∴S'_△EOG=S′_△FOH，
∴S′_ABHG=S′_GHDC，
此时，最短线段GH的长度等于高，即为30米．