试题

题目：
（2012·贵港一模）对于每个自然数n，抛物线y=x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
与x轴交于An、Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为（　　）



答案
D
解：当n=1时，y=x2-
3
2
x+
1
2
，设y=x2-
3
2
x+
1
2
=0的两根式a，b，
则a+b=
3
2
，ab=
1
2
，A1B1=
(a-b)2
=
(a+b)2-4ab
=
1
2
=1-
1
2
，
当n=2时，y=x2-
5
6
x+
1
6
，同法可求出：A2B2=
1
6
=
1
2
-
1
3
，
当n=3 时，y=x2-
7
12
x+
1
12
，同法可求出：A3B3=
1
12
=
1
3
-
1
4
，
…
当n=2011 时，y=x2-
4023
2011×2012
x+
1
2011
×
1
2012
，同法可求出：A2011B2011=
1
2011
×
1
2012
=
1
2011
-
1
2012
，
∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2011B2011|的值为1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2011
-
1
2012
=1-
1
2012
=
2011
2012
，
故选D．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；完全平方式；根与系数的关系．
当n=1时，y=x2-
3
2
x+
1
2
，设y=x2-
3
2
x+
1
2
=0的两根式a，b，则a+b=
3
2
，ab=
1
2
，A1B1=
1
2
=1-
1
2
，同法求出当n=2时，A2B2=
1
6
=
1
2
-
1
3
，当n=3 时，A3B3=
1
12
=
1
3
-
1
4
，当n=2011 时，A2011B2011=
1
2011
×
1
2012
=
1
2011
-
1
2012
，相加即可求出答案．
本题主要考查对抛物线与X轴的交点，根与系数的关系，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据所得的数据找出规律是解此题的关键．
压轴题；规律型．
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