试题

题目：
观察下列等式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=
2011
2012
2011
2012
；
（3）如果有理数a，b满足|ab-2|+（1-a）2=0，试求 
1
(a+1)(b+2)
+
1
(a+3)(b+4)
+
1
(a+5)(b+6)
+…+
1
(a+2009)(b+2010)
．
答案
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

2011
2012

解：（1）
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

（2）原式=
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2011
-
1
2012
=1-
1
2012
=
2011
2012
；

（3）根据题意得：
ab-2=0
1-a=0
，
解得：
a=1
b=2
，
代入式子得到，原式=
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
=
1
2
（
1
2
-
1
4
+
1
4
-
1
6
+…+
1
2010
-
1
2012
）=
1
2
（
1
2
-
1
2012
）=
1005
4024
．
考点梳理
有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；代数式求值．
（1）根据已知的式子可以直接得到；
（2）根据（1）的结果，把每个加数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可求解；
（3）根据非负数的性质求得a、b的值，代入所求的式子，然后利用（1）中的结论即可求解．
本题考查了有理数的运算，正确读懂题意，理解式子的变形是关键．
规律型．
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