试题

题目：
设f(x)=
x2
x2+1
，定义f（1）是代数式
x2
x2+1
当x=1时的值，即f(1)=
12
12+1
=
1
2
，同理f(2)=
22
22+1
=
4
5
，f(
1
2
)=
(
1
2
)2
(
1
2
)2+1
=
1
5
…，根据此运算求f(1)+f(
1
2
)+f(2)+f(
1
3
)+f(3)+f(
1
4
)+f(4)+…+f(
1
n
)+f(n)的值．（用含n的代数式表示）
答案
解：由题意可知f（3）=
32
32+1
=
9
10
，f（
1
3
）=
(
1
3
)2
(
1
3
)2+1
=
1
10
，f（4）=
16
17
，f（
1
4
）=
1
17
，
∴f（2）+f（
1
2
）=1，f（3）+f（
1
3
）=1，f（4）+f（
1
4
）=1，…f（n）+f（
1
n
）=1，
∴原式=
1
2
+（n-1）=n-
1
2
．
解：由题意可知f（3）=
32
32+1
=
9
10
，f（
1
3
）=
(
1
3
)2
(
1
3
)2+1
=
1
10
，f（4）=
16
17
，f（
1
4
）=
1
17
，
∴f（2）+f（
1
2
）=1，f（3）+f（
1
3
）=1，f（4）+f（
1
4
）=1，…f（n）+f（
1
n
）=1，
∴原式=
1
2
+（n-1）=n-
1
2
．
考点梳理
代数式求值．
分别求出f（3），f（
1
3
），f（4），f（
1
4
）的值代入原式寻找规律得f（2）+f（
1
2
）=1，f（3）+f（
1
3
）=1，f（4）+f（
1
4
）=1，原题中共有n-1个1，再加上
1
2
，可得原式的值为n-
1
2
．
解决此类问题的关键是结合题意，总结规律可简化计算．
新定义．
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