试题

题目：
已知△ABC中，BC=a，AB=c，∠B=30°，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
答案
解：（1）若△ABC每个角小于120°时，只需将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′，易知此时有BP=PP′，PC=P′C′，
青果学院
从而PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′≥AC′=
a2+c2
，
当A、P′、P、C′四点共线时取等号，最小值为
a2+c2
；

（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，
①∠A≥120°时，当P点与A重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+
a2+c2-2ac·cos30°
；
②∠C≥120°时，当P点与C重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+
a2+c2-2ac·cos30°
．
故答案为：
a2+c2
或a+
a2+c2-2ac·cos30°
．
解：（1）若△ABC每个角小于120°时，只需将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′，易知此时有BP=PP′，PC=P′C′，
青果学院
从而PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′≥AC′=
a2+c2
，
当A、P′、P、C′四点共线时取等号，最小值为
a2+c2
；

（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，
①∠A≥120°时，当P点与A重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+
a2+c2-2ac·cos30°
；
②∠C≥120°时，当P点与C重合时，PA+PB+PC最小，最小值为a+
a2+c2-2ac·cos30°
．
故答案为：
a2+c2
或a+
a2+c2-2ac·cos30°
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题．
由费马点定理分△ABC每个角小于120°和一个角大于120°两种情况作答，（1）若△ABC每个角小于120°时，将△BPC绕点B按逆时针旋转60°得到△BP′C′由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
（2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转，再由余弦定理及两点之间线段最短的知识即可得出结论．
本题考查的是两点之间线段最短及费马点定理，熟知费马点定理是解答此题的关键．
分类讨论．
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