试题

如图：△ABC是等边三角形，O是∠B、∠C两角平分线的交点，EO⊥BO，FO⊥CO．求证：△AEF的周长等于BC的长．

证明：设OE=a，因为△ABC是等边三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：OB=

3

a，又因为EO⊥BO，FO⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF为等边三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB-BE+AC-CF+EF=3a-2a+3a-2a+a=3a=BC．
即△AEF的周长等于BC的长．
证明：设OE=a，因为△ABC是等边三角形，且OB，OC平分∠ABC、∠ACB，所以BE=CF=2a，
由勾股定理得：OB=

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a，又因为EO⊥BO，FO⊥CO，所以∠EOF=60°，
所以△EOF为等边三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=a，所以EF=OE=a，BC=3a，AE+AF+EF=AB-BE+AC-CF+EF=3a-2a+3a-2a+a=3a=BC．
即△AEF的周长等于BC的长．