试题

（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB²-AC²=BD²-CD²；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM²-CM²的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．

解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，即AB²-AC²=BD²-CD²．
②BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，
∴BM²-CM²=BD²-CD²，
又CD²=AC²-AD²BD²=AB²-AD²，
∴BM²-CM²=AB²-AC²=8²-6²=28．


（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，

PE2+AE2=PA2=9 PE2+EB2=PB2=16 PF2+FC2=25

；
则PD²=AE²+MD²，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3

2

．
解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，即AB²-AC²=BD²-CD²．
②BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，
∴BM²-CM²=BD²-CD²，
又CD²=AC²-AD²BD²=AB²-AD²，
∴BM²-CM²=AB²-AC²=8²-6²=28．


（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，

PE2+AE2=PA2=9 PE2+EB2=PB2=16 PF2+FC2=25

；
则PD²=AE²+MD²，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3

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