试题

如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．
（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；
（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；
（3）线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．

解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：
∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，
∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，
∴在△APM与△CQM中，

AM=CM ∠A=∠MCQ AP=CQ

，
∴△APM与△CQM（SAS）；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²，理由如下：
由（1）知，△APM与△CQM，
∴S_△APM=S_△CQM，
∴S_{四边形PMQC}=S_△AMC=

1

2

S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

×8×8=32（厘米²），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²；

（3）AP²+BQ²=PQ²．证明如下：
∵由（1）知，△APM与△CQM，
∴AP=CQ，
又AC=BC，
∴PC=BQ，
∴AP²+BQ²=CQ²+CP²=PQ²．即AP²+BQ²=PQ²．
解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：
∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，
∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，
∴在△APM与△CQM中，

AM=CM ∠A=∠MCQ AP=CQ

，
∴△APM与△CQM（SAS）；

（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²，理由如下：
由（1）知，△APM与△CQM，
∴S_△APM=S_△CQM，
∴S_{四边形PMQC}=S_△AMC=

1

2

S_△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

×8×8=32（厘米²），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米²；

（3）AP²+BQ²=PQ²．证明如下：
∵由（1）知，△APM与△CQM，
∴AP=CQ，
又AC=BC，
∴PC=BQ，
∴AP²+BQ²=CQ²+CP²=PQ²．即AP²+BQ²=PQ²．