试题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于点E，点F是AC上一点，∠FDC=∠CAB．
（1）求证：CF=BE；
（2）若ED、AC的延长线交于点G，FG=8，CD=3，求AB的长．

解：（1）∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠DEB=90°．
∴∠EDB+∠B=90°，∠FCD=∠BED．
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠EDB=∠BAC．
∵∠FDC=∠CAB，
∴∠EDB=∠FDC．
∵在△FCD和△BED中，

∠FCD=∠BED CD=ED ∠FDC=∠BDE

，
∴△FCD≌△BED（SAS），
∴FC=BE；

（2）∵在△GCD和△BED中，

∠GCD=∠BED CD=ED ∠GDC=∠BDE

，
∴△GCD≌△BED（ASA），
∴GD=BD，CG=BE，
∴GC=FC=

1

2

FG=4，
∴BE=4
∵CD=3，
∴DE=3．
在Rt△GDC中，由勾股定理，得
GD=5，
∴BD=5，
∴BC=8．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

BD

BA

=

BE

BC

，
∴

5

AB

=

4

8

，
∴AB=10．
答：AB的长是10．
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠DEB=90°．
∴∠EDB+∠B=90°，∠FCD=∠BED．
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠EDB=∠BAC．
∵∠FDC=∠CAB，
∴∠EDB=∠FDC．
∵在△FCD和△BED中，

∠FCD=∠BED CD=ED ∠FDC=∠BDE

，
∴△FCD≌△BED（SAS），
∴FC=BE；

（2）∵在△GCD和△BED中，

∠GCD=∠BED CD=ED ∠GDC=∠BDE

，
∴△GCD≌△BED（ASA），
∴GD=BD，CG=BE，
∴GC=FC=

1

2

FG=4，
∴BE=4
∵CD=3，
∴DE=3．
在Rt△GDC中，由勾股定理，得
GD=5，
∴BD=5，
∴BC=8．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

BD

BA

=

BE

BC

，
∴

5

AB

=

4

8

，
∴AB=10．
答：AB的长是10．