试题

题目：
青果学院如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，DC=3BD，若AD=3，求AC的长．
答案
解：青果学院
在DC上截取DE=BD，连接AE，
∵CD=3BD，
∴CE=2BD=2DE，
∵BD=DE，AD⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2DE=2BD=BE，
设DE=a，则AE=CE=BE=2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
∴32+a2=（2a）2，
a=
3
，
∴DE=
3
，CD=3
3
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=
32+(3
3
)2
=6．
解：青果学院
在DC上截取DE=BD，连接AE，
∵CD=3BD，
∴CE=2BD=2DE，
∵BD=DE，AD⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2DE=2BD=BE，
设DE=a，则AE=CE=BE=2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
∴32+a2=（2a）2，
a=
3
，
∴DE=
3
，CD=3
3
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=
32+(3
3
)2
=6．
考点梳理
含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
在DC上截取DE=BD，连接AE，求出AB=AE，求出∠B=∠AEB，根据∠B=2∠C和∠AEB=∠C+∠EAC求出∠EAC=∠C，推出AE=CE=2DE=2BD=BE，设DE=a，则AE=CE=BE=2a，在Rt△ADE中，由勾股定理得出AD2+DE2=AE2，求出a=
3
，得出DE=
3
，CD=3
3
，在Rt△ADC中，由勾股定理求出AC即可．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段的垂直平分线，勾股定理，三角形的外角性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
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