试题

题目：
如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，变成图4．如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．
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（1）随着不断的“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，则Sn=
n+1
n+1
；
（2）S0=
1
1
，S1=
2
2
，S2=
3
3
，S3=
4
4
；
（3）S0+S1+S2+…+S10=
66
66
．
答案
n+1

1

2

3

4

66

解：（1）根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．故为n+1；
（2）1，2，3，4；
（3）根据上述规律，得：原式=1+2+3+…+11=12×5+6=66．
考点梳理
勾股定理．
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．
注意根据勾股定理发现规律，还要注意1+2+…+11的简便计算方法，原式=12×5+6=66．
规律型．
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