试题

题目：
青果学院如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的长．
答案
青果学院解：如图，把△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB，连接DF；
∵△ABC为等腰直角三角形．
∴∠ABD=∠C=45°；
又∵△AFB≌△AEC，
∴BF=EC=4，AF=AE，∠ABF=∠C=45°；
∵∠ABD=45°，
∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=90°，
∴△DBF为直角三角形，
由勾股定理，得DF2=BF2+BD2=42+32=52．
∴DF=5；
因为∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45°；
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
∴DE=DF=5．
青果学院解：如图，把△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB，连接DF；
∵△ABC为等腰直角三角形．
∴∠ABD=∠C=45°；
又∵△AFB≌△AEC，
∴BF=EC=4，AF=AE，∠ABF=∠C=45°；
∵∠ABD=45°，
∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=90°，
∴△DBF为直角三角形，
由勾股定理，得DF2=BF2+BD2=42+32=52．
∴DF=5；
因为∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45°；
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
∴DE=DF=5．
考点梳理
勾股定理；三角形的面积；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
此题要求DE的长，就要先把DE放到一个直角三角形中，这样才能利用角直角三角形求得此边．所以此题就要通边加辅助线或其它办法．观察此图发现可以把此图△AEC绕点A旋转到△AFB，则△AFB≌△AEC，由勾股定理，得DF2=BF2+BD2=42+32=52．所以DF=5．因为∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45度．所以△ADE≌△ADF（SAS）．所以DE=DF=5．
此题的关键是加辅助线，做几何题加辅助线是重中之重．辅助线做的好，方法就简单，做不好就没法求解．
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