试题

题目:
已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,BD是AC边上的中线,分别以AC、AB所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系(如图)
(1)求直线BD的函数关系式.
(2)直线BD上是否存在点M,使AM=AC?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.
青果学院
答案
青果学院解:(1)设直线BD的函数关系式为y=kx+b,
因为AB=AC=4,BD是AC边上的中线,
所以点B、D坐标分别为(0,4)(2,0)代入:y=kx+b,
得:y=-2x+4;

(2)存在点M,使AM=AC,
①点M和点B重合,所以点M为(0,4);
②点M和点B不重合,
如图,连接AM,过M作MN⊥y轴于点N.
令点M的坐标为(a,-2a+4),
由AM=
a2(-2a+4)2

AM=AC可知
a2(-2a+4)2
=4,
解得a1=0,a2=
16
5

所以点M1、M2为(0,4)、(
16
5
-
12
5
),
综上可知点M的坐标为M1(0,4)、M2
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).
青果学院解:(1)设直线BD的函数关系式为y=kx+b,
因为AB=AC=4,BD是AC边上的中线,
所以点B、D坐标分别为(0,4)(2,0)代入:y=kx+b,
得:y=-2x+4;

(2)存在点M,使AM=AC,
①点M和点B重合,所以点M为(0,4);
②点M和点B不重合,
如图,连接AM,过M作MN⊥y轴于点N.
令点M的坐标为(a,-2a+4),
由AM=
a2(-2a+4)2

AM=AC可知
a2(-2a+4)2
=4,
解得a1=0,a2=
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所以点M1、M2为(0,4)、(
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),
综上可知点M的坐标为M1(0,4)、M2
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).
考点梳理
待定系数法求一次函数解析式;勾股定理.
(1)设出一次函数的一般形式,求出B、D两点坐标,代入求得直线BD的函数关系式;
(2)直线BD上存在点M,使AM=AC,①点M和点B重合;②点M和点B不重合,设M的坐标为(a,-2a+4),
利用勾股定理求得AM的长,建立方程,求出问题的解.
此题考查用待定系数法求一次函数,利用勾股定理解决点的存在性,渗透数形结合的思想.
存在型;待定系数法.
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