试题

已知：D是Rt△ABC斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥DF，延长FD到Q，使FD=DQ，连接BQ．
（1）试说明AB⊥BQ的理由；
（2）探究BE²、CF²与EF²有何等量关系．

解：（1）连接QE，（1分）
∵D是Rt△ABC斜边BC上的中点，
∴CD=BD．
又∵FD=DQ，∠FDC=∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ=∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABQ=90°．
∴AB⊥BQ．

（2）BE²+CF²=EF²
∵∠EBQ=90°，
∴BE²+BQ²=QE²
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ=DF．
∴ED是QF的垂直平分线．
∴QE=EF．
∵△DFC≌△DQB，
∴CF=BQ．
∴BE²+CF²=EF²．
解：（1）连接QE，（1分）
∵D是Rt△ABC斜边BC上的中点，
∴CD=BD．
又∵FD=DQ，∠FDC=∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ=∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABQ=90°．
∴AB⊥BQ．

（2）BE²+CF²=EF²
∵∠EBQ=90°，
∴BE²+BQ²=QE²
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ=DF．
∴ED是QF的垂直平分线．
∴QE=EF．
∵△DFC≌△DQB，
∴CF=BQ．
∴BE²+CF²=EF²．