试题

题目：
设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．
答案
青果学院解：作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG．
易证∠HCB=∠BCG，
从而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又显然有∠BAP=∠DAC，
从而GC=BP．
从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．
同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
青果学院解：作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG．
易证∠HCB=∠BCG，
从而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又显然有∠BAP=∠DAC，
从而GC=BP．
从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．
同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理．
可作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG．通过证明∠HCB=∠BCG和已知，得出△HCD≌△GCD．再通过勾股定理可得CH2+AB2=4R2．同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
本题结合圆的知识考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，有一定的难度，注意：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心．
证明题．
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