试题

题目：
已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
答案
解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2，
即a2=c2-b2=（c+b）（c-b），
∵a为质数，
∴c+b=a2，c-b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2，
即a2=c2-b2=（c+b）（c-b），
∵a为质数，
∴c+b=a2，c-b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
考点梳理
完全平方数；勾股定理．
由勾股定理易得a2+b2=c2，则a2=c2-b2=（c+b）（c-b），因为a为质数，所以c+b=a2，c-b=1，两式相减可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）即可得证．
此题考查完全平方数，根据勾股定理和a为质数展开答题，是关键．
证明题．
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