试题

题目：
如图所示，在△ABF中，已知BC=CE=EF，∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，求
AF
AC
的值．
青果学院
答案
青果学院解：延长AC到M，使MC=AC；延长AE到N，使NE=AE，连接ME、NF，延长AD交ME于点P，
在△ABC和△MEC中，
AC=MC
∠ACB=∠MCE
BC=EC
，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴∠BAC=∠EMC=45°，
又∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠APM=90°，
∴AE=AM=2AC，
同理△ACE≌△NFE，
∴AC=NF，AE=NE=2AC，∠N=∠CAD+∠DAE=90°，
在Rt△ANF中，AF=
NF2+AN2
=
AC2+(4AC)2
=
17
AC，
所以
AF
AC
=
17
．
青果学院解：延长AC到M，使MC=AC；延长AE到N，使NE=AE，连接ME、NF，延长AD交ME于点P，
在△ABC和△MEC中，
AC=MC
∠ACB=∠MCE
BC=EC
，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴∠BAC=∠EMC=45°，
又∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°，
∴∠APM=90°，
∴AE=AM=2AC，
同理△ACE≌△NFE，
∴AC=NF，AE=NE=2AC，∠N=∠CAD+∠DAE=90°，
在Rt△ANF中，AF=
NF2+AN2
=
AC2+(4AC)2
=
17
AC，
所以
AF
AC
=
17
．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理．
延长AC到M，使MC=AC；延长AE到N，使NE=AE；连接ME、NF，延长AD交ME于点P，利用“边角边”证明△ABC和△MEC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EMC=∠BAC=45°，再根据∠CAD=45°推出∠APM=90°，然后得到AE=AM，同理可以证明△ACE和△NFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=NF，∠N=∠CAE=90°，然后利用勾股定理列式求出AF、AC的关系，整理即可得解．
本题考查了全等三角的判定与性质，三角形的中线，勾股定理，“见中线，加倍延”是此类题目常用的辅助线的作法，所以我们直接将AC、AE加倍延长，构造出全等三角形是解题的关键．
证明题．
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