试题

已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．

解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p²+x²=y²．
化为（y+x）（y-x）=p²．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y-x，
所以只有

y+x=p2 y-x=1.

从而x=

p2-1

2

，y=

p2+1

2

．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为

p2-1

2

．
解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p²+x²=y²．
化为（y+x）（y-x）=p²．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y-x，
所以只有

y+x=p2 y-x=1.

从而x=

p2-1

2

，y=

p2+1

2

．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为

p2-1

2

．