试题

题目：
已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD；
（2）求出四边形ABCD的对角线BD的长．
答案
解：（1）四边形ABCD分为2种情况，①AC为斜边；②AC为60°角所对直角边；③AC为30°角所对直角边．
青果学院
所以，共6种图形．

（2）如图，分别求BD的长度，
在图1中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+AC2+AD2
=
2
3
21
；
在图2中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2+CD2
=
2
3
21
；
在图3中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2-CD2
=
7
；
在图4中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+CA2- AD2
=
7
．
在图5中，BD=
BC2+CD2-2BC·CD·cos120°
=2
7
；
在图6中，BD=
BA2+AD2-2BA·AD·cos120°
=2
7
．
答：BD的长度为
7
或2
7
或
2
3
21
．
解：（1）四边形ABCD分为2种情况，①AC为斜边；②AC为60°角所对直角边；③AC为30°角所对直角边．
青果学院
所以，共6种图形．

（2）如图，分别求BD的长度，
在图1中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+AC2+AD2
=
2
3
21
；
在图2中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2+CD2
=
2
3
21
；
在图3中，BD=
AB2+AD2
=
AB2+AC2-CD2
=
7
；
在图4中，BD=
BC2+CD2
=
BC2+CA2- AD2
=
7
．
在图5中，BD=
BC2+CD2-2BC·CD·cos120°
=2
7
；
在图6中，BD=
BA2+AD2-2BA·AD·cos120°
=2
7
．
答：BD的长度为
7
或2
7
或
2
3
21
．
考点梳理
勾股定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
（1）△ABC和△ACD的AC边重合，可以分为2种情况，
①AC为30°角所对应的直角边；
②AC为斜边；
③AC为60°角所对应的直角边．
（2）根据不同的图形求出BD的长度．
本题考查的是等边三角形和直角三角形的组合，找出BD所在的直角三角形根据勾股定理可以求解．分类讨论．
几何综合题；开放型．
找相似题