试题
题目:
已知,在△ABC中,∠A、∠B均为锐角,CD为高,若
AD
DB
=
AC
2
BC
2
,则△ABC为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形或等腰三角形
答案
D
解:∵AC
2
=AD
2
+CD
2
,BC
2
=BD
2
+CD
2
,
代入等式
AD
DB
=
AC
2
BC
2
然后转换为AD(BD
2
+CD
2
)=BD(AD
2
+CD
2
)
∴AD×BD
2
+AD×CD
2
=BD×AD
2
+BD×CD
2
,
AD×BD
2
+AD×CD
2
-BD×AD
2
-BD×CD
2
=0
∴AD×BD(BD-AD)-CD
2
(BD-AD)=0
∴(AD×BD-CD
2
)(BD-AD)=0
(1)当AD×BD-CD
2
=0时,
AD
CD
=
CD
BD
,由于CD⊥AB,所以∠CAD与∠CBD互余,所以△ABC可为直角三角形;
(2)当BD-AD=0时,AD=BD,并且CD⊥AB,所以△ABC可为等腰三角形.
故选D.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
勾股定理;因式分解的应用.
由于CD是边AB的高,根据勾股定理将AC、BC代换,然后转换题中的等式.
本题难点在于用勾股定理将AC和BC替换,然后根据等式化简得出两种情况,根据三角形的性质判断为何种三角形.
压轴题.
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