试题
题目:
(2011·重庆)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S
△FGC
=3.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解:①正确.因为AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);
②正确.因为:EF=DE=
1
3
CD=2,设BG=FG=x,则CG=6-x.在直角△ECG中,根据勾股定理,得(6-x)
2
+4
2
=(x+2)
2
,解得x=3.所以BG=3=6-3=GC;
③正确.∵CG=BG,BG=GF,
∴CG=GF,
∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF.
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG;
∴∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF,
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,
∴AG∥CF;
④错误.
∵S
△GCE
=
1
2
GC·CE=
1
2
×3×4=6
∵GF=3,EF=2,△GFC和△FCE等高,
∴S
△GFC
:S
△FCE
=3:2,
∴S
△GFC
=
3
5
×6=
18
5
≠3.
故不正确.
故选C.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;勾股定理.
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG;在直角△ECG中,根据勾股定理可证BG=GC;通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得AG∥CF;由于S
△FGC
=S
△GCE
-S
△FEC
,求得面积比较即可.
本题综合性较强,考查了翻折变换的性质和正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行线的判定,三角形的面积计算,有一定的难度.
几何综合题;压轴题.
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