试题

题目：
（2008·鄂州）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？
答案
解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴a≤
1
2

又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．
设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．
∵a≤
1
2

∴当a=
1
2
时，x12+x22的值最小．
此时
x
2
1
+
x
2
2
=2(
1
2
-2)2-4=
1
2
，即最小值为
1
2
．
解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴a≤
1
2

又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．
设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．
∵a≤
1
2

∴当a=
1
2
时，x12+x22的值最小．
此时
x
2
1
+
x
2
2
=2(
1
2
-2)2-4=
1
2
，即最小值为
1
2
．
考点梳理
二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．
设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，首先：△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0可求得a≤
1
2
，得到了关于a的取值范围．对要求值的式子化简：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，设y=2（a-2）2-4，这是一个关于a的一元二次方程，其对称轴是a=2，开口方向向上．根据开口向上的二次函数的性质：距对称轴越近，其函数值越小．故在a≤
1
2
的范围内，当a=
1
2
时，x12+x22的值最小；此时
x
2
1
+
x
2
2
=2(
1
2
-2)2-4=
1
2
，即最小值为
1
2
．
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数关系，两根之和是-
b
a
，两根之积是
c
a
．还考查了用二次函数性质解决二次三项式的最小值问题可以转化为利用二次函数解决．
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