试题

题目：
青果学院如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB上一点．
（1）△ACE与△BCD全等吗？为什么？
（2）等式AD2+BD2=DE2成立吗？请说明理由．
答案
青果学院解：（1）△ACE≌△BCD，
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
BC=AC
∠ACE=∠BCD
CD=CE
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），

（2）等式AD2+BD2=DE2成立，
∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD2+AE2=DE2，
即AD2+BD2=DE2．
青果学院解：（1）△ACE≌△BCD，
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
BC=AC
∠ACE=∠BCD
CD=CE
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），

（2）等式AD2+BD2=DE2成立，
∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD2+AE2=DE2，
即AD2+BD2=DE2．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
（1）由等腰直角三角形的性质可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通过等量减等量即可推出∠ACE=∠BCD，根据全等三角形的判定定理“SAS”，即可退出结论；
（2）根据（1）中所推出的结论可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根据等腰直角三角形的性质推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD为直角三角形，再根据勾股定理即可推出AE2+AD2=DE2，即AD2+BD2=DE2．
本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，关键在于认真的阅读题目，正确的运用相关的性质定理求证三角形全等．
探究型．
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