试题

（2010·镇江）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=（π为圆周率）；
②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为；
（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；
②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求满足＜x＞=

4

3

x的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x2-x+

1

4

的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜

k

＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

解：（1）①3；
②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：

7

4

≤x＜

9

4

；

（2）①证明：设＜x＞=n，则n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，n为非负整数；
∴(n+m)-

1

2

≤x+m＜(n+m)+

1

2

，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（3）∵x≥0，

4

3

x为整数，设

4

3

x=k，k为整数，
则x=

3

4

k，
∴＜

3

4

k＞=k，
∴k-

1

2

≤

3

4

k＜k+

1

2

，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，

3

4

，

3

2

．

（4）∵函数y=x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴(n-

1

2

)2≤y＜(n+1-

1

2

)2，即(n-

1

2

)2≤y＜(n+

1

2

)2，①
∴n2-n+

1

4

≤y＜n2+n+

1

4

，∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜

k

＞=n，
则n-

1

2

≤

k

＜n+

1

2

，∴(n-

1

2

)2≤k＜(n+

1

2

)2，③
比较①，②，③得：a=b=2n．