试题

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中点，连接BM，CF⊥MB，F是垂足，延长CF交AB于点E．求证：∠AME=∠CMB．

证明：
证法一：过A作CB的平行线交CE的延长线于点N．
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中

∠1=∠2 AC=CB ∠NAC=∠ACB

∴△NAC≌△MCB（A．S．A）
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中

AM=AN ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△AME≌△ANE（S．A．S）
∴∠AME=∠N，
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB；

证法二：作∠ACB的平分线交BM于点N．                                                        
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC＜∠ABC=45°
∴N点在线段BF上．
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中

∠A=∠BCN AC=CB ∠ACE=∠MBC

∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中

∠A=∠MCN CN=AE AM=MC

∴△AME≌△CMN，
∴∠AME=∠CMB．
证明：
证法一：过A作CB的平行线交CE的延长线于点N．
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠NCB=90°
∵CF⊥MB
∴∠2+∠NCB=90°
∴∠1=∠2
∵AN∥BC且∠ACB=90°
∴∠NAC=90°
在△NAC和△MCB中

∠1=∠2 AC=CB ∠NAC=∠ACB

∴△NAC≌△MCB（A．S．A）
∴∠N=∠CMB
∵AN=MC
∵M是AB中点∴AM=MC=AN
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠3=∠ABC=45°
∵AN∥BC∴∠4=∠ABC
∴∠3=∠4
在△AME和△ANE中

AM=AN ∠3=∠4 AE=AE

，
∴△AME≌△ANE（S．A．S）
∴∠AME=∠N，
∵∠N=∠CMB
∴∠AME=∠CMB；

证法二：作∠ACB的平分线交BM于点N．                                                        
∵AC=BC∠ACB=90°
∴∠ABC=∠A=45°
∠MCE+∠BCE=90°
∴∠MCE=∠MBC＜∠ABC=45°
∴N点在线段BF上．
∵CN是∠ACB的平分线
∴∠ACN=∠BCN=45°
在△AEC和△CNB中

∠A=∠BCN AC=CB ∠ACE=∠MBC

∴△AEC≌△CNB
∴CN=AE
∵M是AB中点
∴AM=MC
在△AME和△CMN中

∠A=∠MCN CN=AE AM=MC

∴△AME≌△CMN，
∴∠AME=∠CMB．